设函数f(x)=x^2+x+a(a大于0）满足f(m)小于0则有

x^2+x+a=0
则x1+x2=-1,x1*x2=a
假设x1<x2
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1*x2=1-4a
因为a>0
所以1-4a<1
所以x2-x1<1
及f(x)和x轴两交点的距离小于1
f(m)<0
则x1<m<x2
因为x2-x1<1
所以x1>x2-1
m>x1>x2-1
所以m+1>x2
而y开口向上，所以只有x1<x<x2时，y才小于0
所以f(m+1)>0

因为a>0
所以-a<0
-4a<0
1-4a<1+0
所以1-4a<1
因为(x1-x2)^2=1-4a<1
所以x2-x1<1

2楼很详细，我记得我高中的时候也解过这道题。

其实用图解很方便， 原抛物线的对称轴是 -1/2 所以

0> m > -1 这是肯定的吧，则：1> m+1>0 很显然 f(m + 1) >0

我想这是最快的解法了。

至于你补充的问题：

由题 ：X2 - X1什么时候最大？ 你想想， 肯定是 X1 趋于0时最大吧， 那么X2趋于-1，当然 X2 - X1 <1

f(0)>0 且f(m)<0 在x=-1/2处 a-1/4<0,故可得a<1/4 -1<m<0;
m+1>0 故f(m+1)>0

m^2+m+a<0 (m+1)^2+m+1+a=m^2+3m+2+a>0